Ուղղակի անկյուններով քառանկյունը ... Քառակուսիների անկյունների գումարը

Դպրոցական դասընթացից երկրաչափության ամենահետաքրքիր թեմաներից մեկը «Քառանկյուններ» է (8-րդ դասարան): Ինչպիսի թվեր կան, ինչ հատուկ հատկություններ ունեն նրանք: Որն է քառանկյունների եզակիությունը `90 աստիճան անկյուններով: Տեսնենք այս ամենը:

Ինչ երկրաչափական գործիչը կոչվում է քառանկյուն

Պողպատերը, որոնք բաղկացած են չորս կողմերից եւ համապատասխանաբար, չորս գագաթներով (անկյուններում), կոչվում են կվադրիլատերներ էվկլիդյան երկրաչափության մեջ:

Այս տեսակի անունների պատմությունը հետաքրքիր է: Ռուսերեն լեզվով «քառանկյունը» կազմված է «չորս անկյուններից» արտահայտությունից (նույն կերպ `« եռանկյուն »` երեք անկյուն, «տասնհինգ», հինգ անկյուն եւ այլն):

Այնուամենայնիվ, լատիներեն (որի միջնորդությամբ բազմաթիվ երկրաչափական հասկացություններ են եկել աշխարհի մեծ մասում), այն կոչվում է քառակողմ: Այս բառը կազմված է թվային քառակուսի (չորս) եւ լատուս անվամբ (կողմ): Այսպիսով, մենք կարող ենք եզրակացնել, որ հինավուրց այս պոլիգոն կոչվում էր ընդամենը «քառակողմ»:

Ի դեպ, այս անունը (չորս կողմերի ներկայության շեշտադրմամբ, ոչ անկյունների) այս ժամանակահատվածում պահպանվել է որոշ ժամանակակից լեզուներով: Օրինակ, անգլերենում `քառակողմ եւ ֆրանսերենում` քվադիլաթթերում:

Միեւնույն ժամանակ, սլավոնական լեզուների մեծ մասում դիտարկվող թվերի տեսակները դեռեւս որոշվում են ոչ թե կողմերի, այլ անկյունների քանակով: Օրինակ, սլովակերեն (štvoruholník), բուլղարերեն («chetryriaglnik»), բելառուսերեն («чатырочхутник»), украинском («чотирикутник»), չեխերեն (čtyřúhelník), բայց լեհերենում քառանկյունը կոչվում է կուսակցությունների թվին `czworoboczny:

Դպրոցական ուսումնական ծրագրում ուսումնասիրվում են քառանկյունների ինչ տեսակներ

Ժամանակակից երկրաչափության մեջ առանձնանում են չորս կողմերից բաղկացած չորս տեսակի բազմաբեւեռներ: Այնուամենայնիվ, դրանցից շատերի բարդ հատկությունների պատճառով միայն երկու տեսակներ են ներկայացվում դպրոցականներին երկրաչափական դասարաններում:

• Parallelogram (parallelogram). Քառակուսիների հակառակ կողմերը զուգահեռաբար զուգահեռ են, եւ, համապատասխանաբար, զույգ են:
• Trapezium (trapezium կամ trapezoid). Այս քառակողմը բաղկացած է միմյանց զուգահեռ երկու հակառակ կողմերից: Այնուամենայնիվ, մյուս զույգ կուսակցությունները նման առանձնահատկություն չունեն:

Երկրաչափության դպրոցական դասընթացում չկազմակերպված քառակուսիների տեսակները

Բացի վերը նշվածից, կան երկու այլ քառանկյուններ, որոնք դպրոցականները չեն ներգրավված երկրաչափական դասարաններում, քանի որ դրանց բարդության պատճառով:

• Դելտոոիդը (ուրուր) այն գործիչ է, որտեղ երկու հարեւաններից յուրաքանչյուրը հավասար է միմյանց: Այս քառանկարի անունը պայմանավորված է նրանով, որ տեսքով այն բավականին նման է հունական այբուբենի տառը `« դելտա »:
• Antiparallelogram - այս թիվը այնքան բարդ է, որքան նրա անունը: Դրան հակառակ կողմերը հավասար են, բայց նրանք զուգահեռ չեն միմյանց հետ: Բացի այդ, այս քառակողմ հատվածի երկար հակառակ կողմերը, ինչպես մյուս երկու կարճ կողմերի շարունակականությունը:

Զուգահեռաչափերի տեսակները

Ունենալով քառանկյունների հիմնական տեսակների հետ կապված, արժե ուշադրություն դարձնել իր ենթատեսակներին: Այսպիսով, բոլոր զուգահեռաչափերը, իր հերթին, նույնպես բաժանված են չորս խմբերի:

• Դասական զուգահեռաչափը:
• Ռոմբուսը (ռոմբուս) հավասար կողմերից քառակուսի գործիչ է: Դրա անկյունները կտրում են ճիշտ ուղղությամբ, ադամանդը բաժանելով չորս ուղղանկյուն եռանկյունների:
• Ուղղանկյուն: Անունը խոսում է իր համար: Քանի որ այն քառակուսի է աջ անկյուններով (նրանցից յուրաքանչյուրը հավասար է իննսուն աստիճան): Դրա հակառակ կողմերը ոչ միայն զուգահեռ են, այլեւ հավասար են:
• Քառակուսի (քառակուսի): Ուղղանկյունի նման, դա քառակուսի է ճիշտ անկյուններով, բայց բոլոր կողմերը հավասար են միմյանց: Այս ցուցանիշը մոտ է ռումբին: Այսպիսով, կարելի է պնդել, որ հրապարակը խաչն է ադամանդի եւ ուղղանկյունի միջեւ:

Ուղղանկյունի առանձնահատկությունները

Հաշվի առնելով այն գործիչները, որոնց կողմերի միջեւ անկյունները յուրաքանչյուրը համարվում է իննսուն աստիճան, պետք է ավելի սերտորեն նայել ուղղանկյունին: Ուրեմն, ինչ առանձնահատկություններ ունի նա, որ զիջում է նրան այլ զուգահեռաչափերից:

Ապացուցելու համար, որ զուգահեռաչափը համարվում է ուղղանկյուն, նրա տրամագիծը պետք է հավասար լինի միմյանց, իսկ անկյուններից յուրաքանչյուրը ուղիղ է: Բացի այդ, դրա diagonals- ի հրապարակը պետք է համապատասխանի այս ցուցանիշի երկու հարեւան կողմերի հրապարակների գումարին: Այլ կերպ ասած, դասական ուղղանկյունը բաղկացած է երկու ուղղանկյուն եռանկյուններից, եւ նրանց մեջ, ինչպես հայտնի է, ոտքերի քառակուսիների գումարը հավասար է հիպոթենուսի քառակուսինին: Հիպոթենուսի դերում հայտնվում է հարցի քառակողմի անկյունագիծը:

Այս ցուցանիշի վերջին հատկանիշները նաեւ հատուկ առանձնահատկությունն է: Բացի այդ, կան նաեւ ուրիշներ: Օրինակ, այն փաստը, որ քառակողմի բոլոր կողմերը ուղիղ անկյուններով են միաժամանակ իր բարձունքներում:

Բացի այդ, եթե դուք ուղղորդեք որեւէ ուղղանկյունի շուրջ շրջանակ, ապա նրա տրամագիծը հավասար կլինի ստորագրված գծի անկյունագծին:

Այս քառակողմի մյուս հատկությունների շարքում այն փաստը, որ այն հարթ է եւ ոչ евклидский երկրաչափության մեջ չկա: Դա պայմանավորված է նրանով, որ այս համակարգում չկան քառակողմի թվեր, որոնց անկյունները կազմում են երեք հարյուր եւ վաթսուն աստիճան:

Քառակուսի եւ դրա առանձնահատկությունները

Ուշադրություն դարձնելով ուղղանկյան հատկությունների եւ հատկությունների վրա, հարկ է ուշադրություն դարձնել երկրորդ հայտնի քառանկյունին ուղղակի անկյուններով (սա քառակուսի):

Լինելով փաստորեն նույն ուղղանկյունը, բայց հավասար կողմերով, այս ցուցանիշը ունի իր բոլոր հատկությունները: Սակայն, ի տարբերություն դրա, հրապարակը ներկա է ոչ ադեվլիդյան երկրաչափության մեջ:

Բացի այդ, այս ցուցանիշը կան նաեւ այլ առանձնահատկություններ: Օրինակ, հրապարակի տրամագիծը պարզապես միմյանց հավասար չէ, այլեւ կտրում է ճիշտ անկյունում: Այսպիսով, ինչպես ալմաստը, հրապարակը բաղկացած է չորս ուղղանկյուն եռանկյուններից, որոնց մեջ բաժանված է դիագոնալներով:

Բացի այդ, այս ցուցանիշը բոլոր քառակուսիների մեջ առավել սիմետրիկ է:

Որն է քառակողմի անկյունների գումարը

Հաշվի առնելով евклидский երկրաչափության քառակուսի ճյուղերի առանձնահատկությունները, հարկ է ուշադրություն դարձնել նրանց անկյուններին:

Այսպիսով, վերը թվարկված յուրաքանչյուր գործառույթում անկախ նրանից, թե արդյոք ունի ճիշտ անկյունները, թե ոչ, դրանց ընդհանուր գումարը միշտ նույնն է `երեք հարյուր վաթսուն աստիճան: Սա նման գործչի եզակի առանձնահատկությունն է:

Քառակուսի ճառագայթների հատվածը

Հաշվի առնելով, թե ինչ է այս տեսակի թվերի քառակողմ եւ այլ հատուկ հատկությունների անկյունների գումարը, նպատակահարմար է պարզել, թե որ բանաձեւերը լավագույնս օգտագործվում են իրենց շրջագծի եւ տարածքի հաշվարկով:

Որոշակի քառակուսիների պարամետրը որոշելու համար անհրաժեշտ է միայն ավելացնել բոլոր կողմերի երկարությունը:

Օրինակ, KLMN- ի տվյալ պարամետրը կարելի է հաշվարկել հետեւյալ բանաձեւով `P = KL + LM + MN + KN: Եթե այստեղ փոխարինենք թվերը, մենք ստանում ենք 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (սմ):

Այն դեպքում, երբ տվյալ ցուցանիշը ռոմբուս կամ քառակուսի է, պարագծը գտնելու համար կարող եք պարզեցնել բանաձեւը `պարզապես իր կողմերից մեկի երկարությունը բազմապատկելով` P = KL x 4. Օրինակ `6 x 4 = 24 (սմ):

Քառակուսի քառակուսի բանաձեւեր

Ուշադրություն դարձնելով, թե ինչպես գտնել չորս անկյուններով եւ կողմերով գտնվող որեւէ թվերի պարագծերը, արժանի է հաշվի առնել իր տարածքը գտնելու ամենատարածված եւ պարզ ուղիները:

• Դասական ձեւը հաշվարկելու համար օգտագործվում է S = 1/2 KM x LN x SIN LON բանաձեւը: Ստացվում է, որ ցանկացած քառակուսիների տարածքը հավասար է իր diagonals- ի կեսը արտադրանքի միջեւ, որը գտնվում է նրանց միջեւ գտնվող անկյունում:
• Եթե այն գործիչը, որի տարածք եք ուզում գտնել, ուղղանկյուն կամ քառակուսի (տրամագիծը միշտ միմյանց հավասար է), կարող եք պարզեցնել բանաձեւը `մեկ անկյունագծի երկարությունը քառակուսի եւ դրանք իջեցնելով նրանց միջեւ անկյան միջեւ, եւ բաժանել ամեն ինչ: Օրինակ, S = 1/2 KM <sup>2</sup> x ՍԻՆ ԼՈՆ:
• Բացի այդ, ուղղանկյան տարածությունը գտնելու դեպքում կարող է օգնել տեղեկության տվյալ հատվածի պարագծի եւ նրա կողմերից մեկի երկարությունը: Այս դեպքում առավել հարմար կլինի օգտագործել S = KN x (P - 2 KN) / 2 բանաձեւը:
• Հրապարակի դեպքում դրա հատկությունները մեզ հնարավորություն են տալիս օգտագործել մի քանի լրացուցիչ բանաձեւեր `տարածք գտնել: Օրինակ, իմանալով գործչի պարագծը, կարող եք օգտագործել այս տարբերակը `S = P 2/16: Եվ եթե հայտնի է քառակողմում նկարագրված շրջանագծի շառավղը, քառակուսի հրապարակը շատ նման է S = 4r ² : Եթե սահմանագծված շրջանագծի շառավղը հայտնի է, ապա մեկ այլ բանաձեւ է հարմար: S = 2R ² : Բացի այդ, հրապարակի տարածքը 0,8 անգամ երկար է գծի անկյունից գծի հակառակ կողմից:
• Բացի վերը նշվածից, կա նաեւ առանձին բանաձեւ, որը գտնելու համար հատուկ հաշվարկված է զուգահեռաչափի համար: Այն կարող է օգտագործվել, եթե հայտնի է, գործչի երկու բարձունքների երկարությունը եւ նրանց միջեւ անկյան չափը: Այնուհետեւ բարձունքները պետք է բազմապատկվեն իրենց միջեւ եւ նրանց միջեւ ընկած անկյունից: Հարկ է նշել, որ այս բանաձեւը կարող եք օգտագործել բոլոր թվերի համար, որոնք վերաբերում են զուգահեռաչափերին (այսինքն, ուղղանկյունի, ռմբի եւ քառակուսի):

Քառակուսիների մյուս հատկությունները գրված են եւ շրջանակային շրջանակներ են

Ուշլիդյան երկրաչափության գործիչը համարելով քառակուսի առանձնահատկությունները եւ հատկությունները, արժե ուշադրություն դարձնել այնտեղ նկարագրելու կամ շրջանակների ներդաշնակության հնարավորությանը.

• Եթե թվերի հակադիր անկյունները կազմում են հարյուր ութսուն աստիճան եւ հավասար են զույգին, ապա այս քառակողմի շուրջ կարելի է ազատորեն նկարագրել շրջան:
• Ըստ Պտղոմեոսի թեզաեմի, եթե չորս կողմերից բաղկացած շերտը նկարագրված է պոլիգոնից դուրս, ապա դրա diagonals- ի արտադրանքը հավասար է այս թվերի հակադիր կողմերի արտադրանքի գումարին: Այսպիսով, բանաձեւը նման է հետեւյալ կերպ. KM x LN = KL x MN + LM x KN:
• Եթե մենք կառուցում ենք մի քառակողմ, որի մեջ հակառակ կողմերի գումարները հավասար են միմյանց, ապա դրա մեջ կարելի է շրջել:

Հետազոտելով այն, թե որն է քառակողմը, ինչ տեսակներ կան, որոնցից միայն կողմերն են ունենում ուղղակի անկյունները եւ ինչ հատկություններ ունեն նրանք, հիշում են այս նյութը: Մասնավորապես, ուսումնասիրվել են բազմաբեւեռների հատվածի եւ տարածքի հայտնաբերման ձեւակերպումները: Ի վերջո, այս ձեւի գործիչները ամենատարածվածն են, եւ այս գիտելիքը կարող է օգտակար լինել իրական կյանքում հաշվարկների համար: