Maclaurin եւ կազմալուծում որոշ գործառույթների

Ուսումնասիրում առաջադեմ մաթեմատիկայի պետք է տեղյակ լինի, որ գումարը մի շարքի մեջ ընդմիջումից կոնվերգենցիայի մի շարք մեզ, շարունակական եւ անսահմանափակ թվով անգամ տարբերակված գործառույթը: Հարց է ծագում `արդյոք այն հնարավոր է պնդել, որ տրված է կամայական ֆունկցիան f (x) - ի գումարը մի շարքի. Այսինքն, ինչ պայմաններում է F-ՆԵՐԸ f (x) կարող է ներկայացվել է մի շարքի. The կարեւորությունը այս հարցում այն է, որ դա հնարավոր է փոխարինել մոտավորապես £ հոգեւոր f (x) հանդիսանում է գումարը առաջին մի քանի պայմանների մի շարքի, որ դա polynomial. Այդպիսի փոխարինումը ֆունկցիան բավականին պարզ է Արտահայտությունը - բազմանդամային - հարմար է եւ լուծել որոշակի խնդիրներ է մաթեմատիկական վերլուծության, մասնավորապես լուծելու integrals, երբ հաշվարկման դիֆերենցիալ հավասարումների , եւ այլն ...

Այն ցույց տվեց, որ ինչ - որ f-ii f (x), որտեղ, ածանցյալն են (n + 1) -րդ կարգի կարող է հաշվարկվել, այդ թվում, ամենաուշը մոտակայքում (ալֆա - R; x ₀ + R) մի կետի x = ալֆա արդար բանաձեւ է:

Այս բանաձեւը, որը անվան հանրահայտ գիտնական Brooke Taylor. Մի շարք, որը բխում է նախորդից, որը կոչվում է Maclaurin շարք:

Ա կանոնը, որ ստիպում է դա հնարավոր է արտադրել էքսպանսիան է Maclaurin շարքի:

1. Որոշելու, ածանցյալ առաջին, երկրորդ, երրորդ, ... կարգով:
2. Հաշվարկել, թե ինչ են ածանցյալները x = 0:
3. Ձայնագրեք Maclaurin շարքը այս գործառույթը, ապա պետք է որոշել, թե ընդմիջումից կոնվերգենցիայի.
4. Որոշելու, թե ընդմիջումից (-R, R), որտեղ մնացորդային մասը բանաձեւի Maclaurin

R _n (x) -> 0 համար n -> անվերջություն. Եթե մեկը կա, ապա դա ֆունկցիա f (x) պետք է հավասար լինի գումարի Maclaurin շարքը.

Այժմ քննենք Maclaurin շարքը համար առանձին գործառույթների.

1. Այսպես, առաջին հերթին պետք է f (x) = ե ^x: Իհարկե, որ նրանց բնութագրերը, այսպես զ-Ia ը ստացված մի շարք պատվերներ եւ F ^{(K) (x)} = E ^x, որտեղ k հավասար է բոլոր այն բնական թվերի: Փոխարինել x = 0: Մենք ձեռք բերել F ^{(K) (0)} = ե ⁰ = 1, K = 1,2 ... Ելնելով վերոգրյալից, մի շարք էլեկտրոնային ^x Դա կլինի հետեւյալն են:

2. Maclaurin շարքը համար ֆունկցիայի f (x) = sin x: Անմիջապես նշեք, որ F-ՆԵՐԸ բոլոր անհայտ ածանցյալների կունենա, բացի f ^'(x) = cos x = sin (x + n / 2), ^{զ' '(x)} = -sin x = sin (x + 2 * n / ²⁾ ..., զ ^{(k) (x)} = sin (x + n * k / 2), որտեղ k հավասար է ցանկացած դրական ամբողջ թիվ. Այսինքն, պարզ հաշվարկներ, մենք կարող ենք եզրակացնել, որ շարքը f (x) = sin x կլինի հավանում են սա:

3. Այժմ եկեք համարենք iju f-f (x) = Cos x: Այն հայտնի չէ բոլոր ածանցյալ կամայական կարգով, եւ ^{| զ (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Կրկին, դա կազմելով որոշ հաշվարկներ, մենք գտնում ենք, որ այդ շարքը f (x) = COS x կանդրադառնա հավանում են սա:

Այնպես որ, մենք նշված կարեւորագույն հատկանիշները, որոնք կարող են ընդլայնվել է Maclaurin շարքի, բայց նրանք լրացնում են Թեյլորի շարքը որոշ գործառույթների. Այժմ մենք պետք է նշեք դրանք, ինչպես նաեւ: Այն պետք է նաեւ նշել, որ Թեյլորը սերիան եւ Maclaurin շարք կարեւոր մասն է արհեստանոցի շարք որոշումների բարձրագույն մաթեմատիկայի. Այնպես որ, Taylor շարքը.

1. Առաջին է մի շարք f-ii f (x) = Ln (1 + x): Ինչպես նախորդ օրինակների, դրա համար մենք f (x) = Ln (1 + x) կարող է folded մի շարք, օգտագործելով ընդհանուր ձեւը Maclaurin շարքը. բայց այս առանձնահատկությունը Maclaurin կարող է ձեռք բերել շատ ավելի հեշտ է. Ինտեգրվելու երկրաչափական շարք, մենք ձեռք մի շարք համար f (x) = Ln (1 + x) նմուշի:

2. Եվ երկրորդ, որը կլինի վերջնական սույն հոդվածում, կլինի մի շարք համար f (x) = arctg x: Համար x պատկանող ընդմիջումից [-1; 1] վավեր է կազմալուծում:

Որ այդ ամենը: Այս հոդվածում ես հարցվածների առավել օգտագործվում Թեյլորի շարքը եւ Maclaurin շարք բարձրագույն մաթեմատիկայի, մասնավորապես, տնտեսական եւ տեխնիկական քոլեջների: