Տարբերությունները, - սա ինչ Թե ինչպես կարելի է գտնել Դիֆերենցիալ գործառույթը.

Հետ միասին ածանցյալների նրանց գործառույթները տարբերությունները - այն որոշ հիմնական հասկացությունների վերաբերյալ դիֆերենցիալ քար, հիմնական բաժնում մաթեմատիկական վերլուծության. As անքակտելիորեն կապված, երկուսն էլ մի քանի դար լայնորեն օգտագործվում է լուծել գրեթե բոլոր խնդիրները, որոնք առաջացել ընթացքում գիտական ու գիտատեխնիկական գործունեության մասին.

Առաջացումը հայեցակարգի դիֆերենցիալ

Է առաջին անգամ հասկացրել է, որ այդպիսի դիֆերենցիալ, հիմնադիրներից մեկը (հետ միասին Isaakom Nyutonom) Դիֆերենցիալ քար հայտնի գերմանացի մաթեմատիկոս Gotfrid Vilgelm Leybnits: Մինչ այդ, մաթեմատիկոսներ 17-րդ դարում. օգտագործվում է շատ անհասկանալի է եւ աղոտ պատկերացում որոշ անվերջ «չբաժանված» ցանկացած հայտնի գործառույթի, ներկայացնում է մի շատ փոքր հաստատուն մեծություն բայց ոչ հավասար է զրոյի, որից ներքեւ արժեւորվում է գործառույթը չի կարող լինել պարզապես. Հետեւաբար, այն էր, ընդամենը մեկ քայլ է ներդրման պատկերացումների անսահմանորեն increments ֆունկցիայի փաստարկների եւ դրանց համապատասխան increments գործառույթներից, որոնք կարող են արտահայտված ածանցյալների վերջինս: Եւ այդ քայլը կատարվել է գրեթե միաժամանակ վերը նշված երկու մեծ գիտնականներ:

Հիման վրա անհրաժեշտության հրատապ գործնական մեխանիկա խնդիրները, որոնք դիմակայել գիտությունը զարգանում է արագ տեմպերով արդյունաբերության եւ տեխնոլոգիայի, Newton and Leibniz ստեղծեց ընդհանուր ուղիներ գտնելու գործառույթները փոխարժեքով փոփոխության (հատկապես դա վերաբերում է մեխանիկական արագությամբ մարմնի հայտնի հետագիծ), որը հանգեցրել է ներդրման նման հասկացությունների, որպես ածանցյալ գործառույթը եւ դիֆերենցիալ, ինչպես նաեւ հայտնաբերվել է ալգորիթմը հակադարձ խնդիրների լուծումը, ինչպես հայտնի է ինքնին (փոփոխական) արագություն հատեն գտնել այն ուղին, որը հանգեցրել է հայեցակարգին անբաժանելի Ala:

Ի աշխատանքներին Լայբնիցի եւ Նյուտոնի գաղափարի առաջին երեւում էր, որ տարբերությունները - համամասնական է ավելացում հիմնական arguments Δh increments Δu գործառույթներ, որոնք կարող են հաջողությամբ կիրառվել է հաշվարկել արժեքը վերջինս: Այլ կերպ ասած, նրանք հայտնաբերել են, որ հավելման գործառույթը կարող է լինել ցանկացած կետ (իր տիրույթում սահմանման), արտահայտված իր ածանցյալ որպես Δu = y '(x) Δh + αΔh որտեղ α Δh - մնացածն ձգտում է զրոյի, երբ Δh → 0, շատ ավելի արագ, քան փաստացի Δh:

Ըստ հիմնադիրների մաթեմատիկական վերլուծության, իսկ տարբերությունները, - սա հենց այն առաջին ժամկետը increments ցանկացած գործառույթների. Նույնիսկ առանց հստակ սահմանված սահմանաչափը հայեցակարգի sequences են հասկացել է ինտուիտիվ, որ դիֆերենցիալ արժեքը ածանցյալ հակված է գործել, երբ Δh → 0 - Δu / Δh → Y '(x):

Ի տարբերություն Newton, ով էր հիմնականում ֆիզիկոս եւ մաթեմատիկական սարքավորումներ դիտարկվում է որպես օժանդակ գործիք ուսումնասիրության ֆիզիկական խնդիրների, Leibniz ավելի շատ ուշադրություն է այս Toolkit, այդ թվում `համակարգի տեսողական եւ հասկանալի խորհրդանիշների մաթեմատիկական արժեքների: Այն էր, նա, ով առաջարկել է ստանդարտ նշում է տարբերությունների ֆունկցիայի dy = y '(x) DX, DX, եւ ածանցյալ է փաստարկ գործառույթը, ինչպես նաեւ դրանց հետ փոխհարաբերությունների y' (x) = dy / dx:

The ժամանակակից սահմանումը

Թե ինչ է դիֆերենցիալ առումով ժամանակակից մաթեմատիկայի. Այն սերտորեն կապված է հասկացությանը փոփոխական ավելացում. Եթե փոփոխական y տեւում է առաջին արժեքը y y = _1, ապա y = y _2, տարբերությունը y ₂ ─ y ₁ կոչվում է հավելման արժեքը y. Որ հավելման կարող է լինել դրական: բացասական եւ զրոյական: Բառը "հավելման" նշանակված ալ բանաձեւով, Δu ձայնագրությունը (կարդալ «delta y '), նշանակում է արժեքը Աճեցնել թ. այնպես որ, Δu = y ₂ ─ y _1:

Եթե արժեքը Δu կամայական գործառույթը y = f (x) կարող է ներկայացվել որպես Δu = A Δh + ալֆա, որտեղ Ա չկա կախվածությունը Δh, ք. E. A = const համար տվյալ x, իսկ տերմինը α, երբ Δh → 0 հակված է դա նույնիսկ ավելի արագ, քան փաստացի Δh, ապա առաջին ( «master") ժամկետով համամասնական Δh, եւ է y = f (x) դիֆերենցիալ, մատնանշում dy կամ DF (x) (կարդալ "y de», «դե ազդեցու-ից X»): Հետեւաբար դիֆերենցիալ - մի "գլխավոր" գծային նկատմամբ բաղադրիչների increments Δh գործառույթների.

մեխանիկական բացատրությունը

Թող S = f (t) - հեռավորությունը ուղիղ գծի շարժվող նյութական կետ է նախնական դիրքից (t - Ճանապարհորդական ժամանակով): Նվազագույն ծավալն Δs - է ճանապարհն կետն ընթացքում մի ժամանակ ընդմիջումից Δt, իսկ դիֆերենցիալ DS = f '(տ) Δt - այս ուղին, որի խոսքը պետք է տեղի համար, միեւնույն ժամանակ, Δt, եթե դա պահպանվում է արագության զ »(t), հասել է ժամանակի t , Երբ է անսահմանորեն Δt ds երեւակայական ուղին տարբերվում է փաստացի Δs infinitesimally ունենալով բարձր կարգը նկատմամբ Δt: Եթե արագությունը ժամանակային t հավասար չէ զրոյի, իսկ մոտավոր արժեքը ds տալիս փոքր կողմնակալ կետը.

երկրաչափական

Թող այդ գիծը L է գրաֆիկի y = f (x): Ապա Δ x = MQ, Δu = QM '(տես Նկար ստորեւ): Tangent MN խախտում Δu կտրել է երկու մասի, QN եւ NM »: Առաջին եւ Δh է համամասնական QN = MQ ∙ tg (անկյան QMN) = Δh զ '(x), ք. E QN որը dy դիֆերենցիալ:

Ի երկրորդ մասը տարբերության Δu NM'daet ─ dy, երբ Δh → 0 NM երկարությունը 'նվազում, նույնիսկ ավելի արագ, քան ավելացում փաստարկի, այսինքն ունի կարգը փոքրության բարձր է, քան Δh: Այս դեպքում, եթե զ »(x) ≠ 0 (ոչ-զուգահեռ շոշափող ox) հատվածների QM'i QN համարժեք. այլ կերպ ասած NM 'նվազում արագորեն (կարգը փոքրության մասին իր ավելի բարձր), քան ընդհանուր հավելման Δu = ՈԿ'. Սա ակնհայտ է Գծապատկեր (մոտենում սեգմենտը M'k M NM'sostavlyaet բոլորը ավելի պակաս QM 'հատվածի):

Այնպես որ, գրաֆիկորեն դիֆերենցիալ կամայական գործառույթը հավասար է ավարտը `ավելացնելով, որ համակարգել է շոշափող:

Ածանցյալ եւ դիֆերենցիալ

A գործոն է առաջին ժամկետով արտահայտությունը հավելման գործառույթը հավասար է արժեքի իր ծագումնական f '(x). Այսպիսով, հետեւելով հարաբերությունը - dy = զ '(x) Δh կամ df (x) = f (x) Δh:

Հայտնի է, որ հավելման անկախ փաստարկի հավասար է իր դիֆերենցիալ Δh = DX. Համապատասխանաբար, մենք կարող ենք գրել: f '(x) dx = dy:

Գտնելով (երբեմն ասել է, որ «որոշումը») տարբերությունների իրականացվում է նույն կանոններով, ինչպես է ածանցյալ. A ցուցակը նրանցից տրվում է ստորեւ:

Որն է ավելի ունիվերսալ է: հավելման է փաստարկ կամ դրա դիֆերենցիալ

Այստեղ է, որ անհրաժեշտ է, որպեսզի որոշ պարզաբանումներ: Ներկայացուցչություն արժեքը զ »(x) դիֆերենցիալ Δh հնարավոր է, երբ հաշվի առնելով x որպես փաստարկ: Բայց գործառույթը կարող է լինել բարդ է, որը x կարող է լինել մի ֆունկցիա փաստարկ t. Ապա ներկայացուցչությունը դիֆերենցիալ արտահայտմանը f '(x) Δh, որպես կանոն, դա անհնար է: բացառությամբ այն դեպքերի, գծային կախվածության x = ժամը + b.

Ինչ վերաբերում է բանաձեւի f '(x) dx = dy, ապա այն դեպքում, անկախ փաստարկ X (ապա dx = Δh), այն դեպքում, որ պարամետրային կախվածության x t, դա դիֆերենցիալ.

Օրինակ, արտահայտությունը 2 x Δh համար y = x ^2, նրա դիֆերենցիալ երբ x փաստարկ. Մենք այժմ x = տ ² եւ ենթադրել, t փաստարկ. Ապա y = x ² = T ^4:

Սա հետեւեց (t + Δt) ² = t ² + 2tΔt + Δt ^2: Հետեւաբար Δh = 2tΔt + Δt ^2: Հետեւաբար, 2xΔh = 2T ² (2tΔt + Δt ^2):

Այս արտահայտությունը չէ համամասնական է Δt, եւ, հետեւաբար, այժմ 2xΔh չի դիֆերենցիալ: Այն կարելի է հետեւյալ հավասարման y = x ² = t ^4: Դա հավասար dy = 4T ³ Δt:

Եթե մենք վերցնենք արտահայտությունը 2xdx, դա այն է, որ դիֆերենցիալ y = x ² ցանկացած փաստարկ t. Իրոք, երբ x = տ ² Ստանալու dx = 2tΔt:

Այնպես որ, 2xdx = 2T ² 2tΔt = 4T ³ .DELTA.t, ք. Ե Արտահայտությունը տարբերությունները կողմից արձանագրված երկու տարբեր փոփոխականների համընկնում.

Փոխարինելու increments տարբերությունները

Եթե զ '(x) ≠ 0, ապա Δu եւ dy համարժեք (երբ Δh → 0); եթե f '(x) = 0 (իմաստի եւ dy = 0), նրանք չեն համարժեք:

Օրինակ, եթե y = x ^2, ապա Δu = (x + Δh) ² ─ x ² = 2xΔh + Δh ² dy = 2xΔh: Եթե x = 3, ապա մենք ունենք Δu = 6Δh + Δh ² եւ dy = 6Δh որոնք համարժեք շնորհիվ Δh ² → 0, երբ x = 0 արժեք Δu = Δh ² եւ dy = 0 համարժեք չեն:

Այս փաստը, հետ միասին պարզ կառուցվածքի մասին դիֆերենցիալ (մ. E. Linearity նկատմամբ Δh), որը հաճախ օգտագործվում է հաշվարկի, այն ենթադրությունից, որ Δu ≈ dy փոքր Δh: Գտնել դիֆերենցիալ գործառույթը սովորաբար ավելի հեշտ է, քան պետք է հաշվարկել ճշգրիտ արժեքը ավելացում.

Օրինակ, մենք ունենք մետալիկ Cube հետ եզրին x = 10.00 սմ. Ջեռուցման եզրին երկարաձգվել է Δh = 0.001 սմ Ինչպես ավելացել ծավալը խորանարդի V. Մենք ունենք V = X ^2, այնպես, որ dV = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ 0 10 ^2/01 = 3 (սմ ^3): Աճել ΔV համարժեք դիֆերենցիալ dV, այնպես, որ ΔV = 3 սմ ^3: Լրիվ հաշվարկ կտար ³ ΔV = 10,01 ─ մարտի ¹⁰ = 3.003001. Բայց արդյունքը բոլոր թվանշանների, բացառությամբ առաջին ոչ արժանահավատ. հետեւաբար, դա դեռ պետք է շուրջը, մինչեւ 3 սմ ^3:

Ակնհայտ է, որ այս մոտեցումը օգտակար է միայն այն դեպքում, եթե դա հնարավոր է գնահատել արժեքը հաղորդվել հետ սխալի.

Դիֆերենցիալ գործառույթը: օրինակները

Փորձենք գտնել Դիֆերենցիալ ֆունկցիայի y = x ^3, գտնելու ածանցյալ: Եկեք տալ փաստարկը մեծացում Δu եւ սահմանել:

Δu = (Δh + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3):

Այստեղ է, որ գործակիցը A = 3x ² կախված չէ Δh, այնպես, որ առաջին ժամկետը `համամասնական Δh, իսկ մյուս անդամը 3xΔh Δh ² + ³ երբ Δh → 0 նվազում են ավելի արագ, քան ավելացում փաստարկի: Հետեւաբար, անդամ 3x ² Δh է դիֆերենցիալ է y = x ^3:

dy = 3x ² Δh = 3x ² DX դ (x ³⁾ = 3x ² DX.

Որուն մէջ դ (x ³⁾ / dx = 3x ^2:

Dy Մենք այժմ գտնել գործառույթը y = 1 / x կողմից ածանցյալ: Ապա դ (1 / x) / dx = ─1 / x ^2: Հետեւաբար dy = ─ Δh / x ^2:

Դիֆերենցիալ հիմնական հանրահաշվական գործառույթները տրված են ստորեւ.

Մոտավոր հաշվարկներով օգտագործող տարբերակված

Է գնահատել ֆունկցիան f (x), եւ նրա ածանցյալ գործիքը զ »(x) - ին, ժամը x = a հաճախ դժվար է, բայց պետք է նույնն անել մոտակայքում x = a հեշտ չէ. Այնուհետեւ գալիս է օգնության մոտավոր արտահայտվելու

զ (ա + Δh) ≈ զ »(ա) Δh + զ (ա).

Սա թույլ է տալիս մոտավոր արժեքը ֆունկցիայի ժամը փոքր increments միջոցով իր դիֆերենցիալ Δh f '(ա) Δh:

Հետեւաբար, այս բանաձեւը թույլ է տալիս մոտավոր արտահայտում գործառույթը վերջում կետում մի մասի երկարությամբ Δh որպես գումարի իր արժեքով ելակետ է մասի (x = ա), եւ դիֆերենցիալ է նույն ելակետ: Ճշտությունը մեթոդի համար որոշելիս արժեքները ֆունկցիայի ստորեւ ցույց է տալիս նկարչություն.

Սակայն հայտնի է, եւ ճշգրիտ արտահայտությունն է արժեքի ֆունկցիայի x = a + Δh տրված բանաձեւով վերջավոր increments (կամ, որպես այլընտրանք, LAGRANGE բանաձեւը)

զ (ա + Δh) ≈ զ »(ξ) Δh + զ (ա),

որտեղ խոսքը x = a + ξ է ընդմիջում է x = Ա - x = a + Δh, թեեւ նրա հստակ դիրքորոշումը հայտնի չէ: Ճշգրիտ բանաձեւը թույլ է տալիս գնահատել սխալը մոտավոր բանաձեւով. Եթե մենք դնում է Lagrange բանաձեւը ξ = Δh / 2, չնայած այն դադարում է լինել ճշգրիտ, բայց տալիս, որպես կանոն, շատ ավելի լավ մոտեցում է, քան բուն արտահայտվելու առումով դիֆերենցիալ:

Գնահատման բանաձեւեր սխալ `կիրառելով տարբերակված

Չափիչ սարքերը , սկզբունքորեն, ճիշտ է, եւ բերում է չափման տվյալների համապատասխան է սխալի. Դրանք բնութագրվում են սահմանափակելու բացարձակ սխալ, կամ, կարճ ասած, որ սահմանը սխալ դրական, հստակ գերազանցելով սխալ բացարձակ արժեքով (կամ առավելագույնը հավասար է դրան): Սահմանափակելու հարաբերական սխալ կոչվում քանորդ է ձեռք բերել բաժանարար այն բացարձակ արժեքի չափված արժեքի.

Թող հստակ բանաձեւ y = f (x) ֆունկցիան օգտագործվում է vychislyaeniya y, սակայն արժեքը x է չափման արդյունքը, եւ, հետեւաբար, բերում է y սխալը: Այնուհետեւ, գտնել սահմանափակելու բացարձակ սխալ │Δu│funktsii y, օգտագործելով բանաձեւը

│Δu│≈│dy│ = │ զ »(x) ││Δh│,

որտեղ │Δh│yavlyaetsya լուսանցքային սխալ փաստարկ. │Δu│ քանակի պետք է կլորացված դեպի վեր, քանի որ սխալ հաշվարկ ինքնին փոխարինում է հավելման վրա դիֆերենցիալ հաշվարկման.