Ինչ է ֆրագալը: Fractals բնույթով

Հաճախ գիտության մեջ փայլուն հայտնագործությունները կարող են արմատապես փոխել մեր կյանքը: Օրինակ, պատվաստանյութի գյուտը կարող է շատ մարդկանց փրկել, եւ նոր զենքի ստեղծումը հանգեցնում է սպանության: Երեկ բառացիորեն (պատմության մասշտաբով) մարդը «ճնշված» էլեկտրականություն է եւ այսօր չի կարող պատկերացնել իր կյանքը առանց նրա: Սակայն կան նաեւ նման բացահայտումներ, որոնք, ասում են, շարունակում են մնալ ստվերում, եւ չնայած այն բանին, որ նրանք նույնպես որոշակի ազդեցություն ունեն մեր կյանքի վրա: Նման հայտնագործություններից մեկն էլ ֆրակտալ էր: Մարդկանց մեծ մասը նույնիսկ չի լսել այդ հայեցակարգը եւ չի կարողանա բացատրել դրա իմաստը: Այս հոդվածում մենք կփորձենք հասկանալ, թե ինչ ֆրագալ է, համարում է այս տերմինի իմաստը գիտության եւ բնության դիրքերից:

Պատվիրել քաոսում

Հասկանալու համար, թե ինչ ֆրագալ է, մենք պետք է սկսենք մաթեմատիկայի տեսանկյունից թռիչքների վերլուծությունը, բայց նախքան հստակ գիտությունների դիզայնը, մենք մի փոքր փիլիսոփայական ենք: Յուրաքանչյուր մարդ ունի բնական հետաքրքրասիրություն, որի միջոցով նա գիտի աշխարհը նրա շուրջը: Հաճախ գիտելիքների որոնման մեջ նա ձգտում է գործել տրամաբանությամբ իր դատողություններում: Այսպիսով, վերլուծելով այն գործընթացները, որոնք տեղի են ունենում, նա փորձում է հաշվարկել հարաբերությունները եւ ստանալ որոշակի օրինաչափություններ: Մոլորակի ամենամեծ մտավորականները զբաղվում են այդ խնդիրների լուծմամբ: Խստորեն ասած, մեր գիտնականները փնտրում են նախադեպեր, որտեղ նրանք գոյություն չունեն եւ չպետք է լինեն: Եվ նույնիսկ քաոսում կա այդ կամ այդ իրադարձությունների միջեւ կապը: Դա այն կապն է, որ fractal- ն է: Օրինակ, հաշվի առեք ճանապարհի վրա ընկած կոտրված ճյուղը: Եթե ուշադիր նայեք դրա վրա, կտեսնենք, որ այն նման է ծառի բոլոր մասնաճյուղերի եւ հանգույցների: Այստեղ առանձին մասի նման միասնությունը մեկ ամբողջականությամբ վկայում է վերը նշված ինքնուրույնության այսպես կոչված սկզբունքի մասին: Բնութագրերը բնության մեջ կարելի է գտնել շատ հաճախ, քանի որ ձեւավորված են բազմաթիվ անօրգանական եւ օրգանական ձեւեր: Սա ամպերն է, ծովային ռումբերն ու snails- ի ռումբերն ու ծառերի պսակը եւ նույնիսկ շրջանառության համակարգը: Այս ցանկը կարող է շարունակվել անընդմեջ: Բոլոր այս պատահական ձեւերը հեշտությամբ նկարագրում են ֆրակտալ ալգորիթմը: Այստեղ մենք եկել ենք հաշվի առնել, թե ինչ fractal- ն է ճշգրիտ գիտությունների դիրքից:

Մի քանի չոր փաստ

Լատիներեն «fractal» բառը թարգմանվում է որպես «մասնակի», «բաժանված», «մասնատված», եւ այս տերմինի բովանդակության մեջ չկա ձեւակերպում: Սովորաբար այն վերաբերվում է որպես ինքնակամ նման հավաքածու, որը ամբողջությամբ մաս է կազմում, որը միկրո մակարդակում կրկնում է իր կառուցվածքը: Այս տերմինը հորինվել է 20-րդ դարի 70-ական թվականներին Benoit Mandelbrot- ի կողմից, որը ճանաչվել է որպես ֆրակտալ երկրաչափության հայր : Այսօր ֆրակտալի հայեցակարգը ենթադրում է կառուցվածքի գրաֆիկական ներկայացում, որը, ինչպես ընդլայնված սանդղակով, նման կլինի իրեն: Այնուամենայնիվ, այս տեսության ստեղծման համար մաթեմատիկական հիմքը դրվել էր դեռ Մանդելբրոկի ծնունդը առաջ, բայց այն չէր կարող զարգանալ, մինչեւ էլեկտրոնային համակարգիչները հայտնվեցին:

Պատմական տեղեկանք, թե ինչպես է այն սկսվել

19-րդ եւ 20-րդ դարերի շրջանում ֆրագալների բնության ուսումնասիրությունը դրվագ էր: Դա պայմանավորված է նրանով, որ մաթեմատիկոսները նախընտրում էին ուսումնասիրել այն օբյեկտները, որոնք կարող են ուսումնասիրվել ընդհանուր տեսությունների եւ մեթոդների հիման վրա: 1872 թ.-ին գերմանացի մաթեմատիկոս Կ. Ուայերստրասը կառուցեց շարունակական ֆունկցիայի օրինակ, որը ոչ մի տեղ չի տարբերվում: Այնուամենայնիվ, այս կառույցը ամբողջովին վերացական ու դժվար է ընկալել: Հաջորդը եկավ Շվեդիայի Հելե վոն Քոչին, որը 1904-ին կառուցեց շարունակական կորի, որը ոչ մի տեղ չուներ: Դա բավականին հեշտ է նկարել, եւ ինչպես պարզվեց, այն բնութագրվում է ֆրակտալ հատկություններով: Այս կորի տարբերակներից մեկը կոչվել է հեղինակի `« Snowflake Koch »- ի պատվին: Հետագայում թվերի ինքնահավանության գաղափարը մշակվել է Բ.Մանդելբրոուի ապագա ուսուցչուհի, ֆրանսիացի Պոլ Լեւիի կողմից: 1938 թ.-ին նա հրատարակեց «Flat եւ տարածական կորիներ եւ մակերեսներ, որոնք կազմված են ամբողջ մասերից»: Այնտեղ նա նկարագրել է նոր տեսակի `Լեւիի C- կորը: Բոլոր վերոհիշյալ ցուցանիշները պայմանականորեն կապված են ձեւի հետ, քանի որ երկրաչափական ֆրակտալները:

Դինամիկ կամ ալգեբային ֆրակտալներ

Այս դասը ներառում է Mandelbrot- ի հավաքածու: Այս ուղղության առաջին հետազոտողները ֆրանսիացի մաթեմատիկոսներ Պիեր Ֆաթու եւ Գաստոն Ջուլան էին: 1918 թ.-ին Ջուլիան հրապարակեց աշխատանք, ռացիոնալ համալիրի գործառույթների վերափոխումների ուսումնասիրության հիման վրա: Այստեղ նա նկարագրել է fractals ընտանիք, որոնք սերտորեն կապված են Մանդելբրոտի հավաքածուի հետ: Չնայած այն բանին, որ այս աշխատանքը հեղինակին մաթեմատիկոսների կողմից փառավորեց, այն արագ մոռացավ: Եվ միայն կես դար անց, համակարգիչների շնորհիվ, Ջուլիան աշխատեց երկրորդ կյանք: Համակարգիչները թույլ են տվել յուրաքանչյուր մարդու տեսանելի լինել, որ ֆրակտալների աշխարհի գեղեցկությունն ու հարստությունը, որ կարող էին «տեսնել» մաթեմատիկոսներին, ցուցադրելով գործառույթների միջոցով: Մանդելբրոտը առաջինն էր, ով համակարգիչ էր օգտագործում հաշվարկներ կատարելու համար (նման ծավալը չի կարող ձեռքով արվել), ինչը թույլ է տալիս կառուցել այդ թվերի պատկեր:

Տիեզերական երեւակայությամբ մարդ

Մանդելբրոտը սկսեց իր գիտական կարիերան IBM- ի հետազոտական կենտրոնում: Երկար հեռավորության վրա տվյալների փոխանցման հնարավորությունները ուսումնասիրելով, գիտնականները կանգնած էին աղմուկի միջամտության պատճառով առաջացած մեծ կորուստների փաստի հետ: Բենուան այս խնդրի լուծման ուղիներ էր փնտրում: Չնայած չափումների արդյունքներին, նա ուշադրություն հրավիրեց մի տարօրինակ օրինակին, այսինքն `աղմուկի գրաֆիկները նույնն էին տարբեր ժամանակահատվածներում: Նմանատիպ նկարը դիտվում էր ինչպես մեկ օրվա, այնպես էլ յոթ օրվա կամ մեկ ժամվա ընթացքում: Բենուա Մանդելբրոտն իրեն հաճախ ասում է, որ չի աշխատում բանաձեւերով, այլ խաղում է նկարներով: Գիտնականը տարբերվում էր փոխաբերական մտածողության մեջ, նա գրել է երկրաչափական տիրույթը, որտեղ ճիշտ պատասխանը ակնհայտ է: Ուստի զարմանալի չէ, որ նման մարդը, ով հարուստ է տարածական մտածողության մեջ, դարձավ ֆրակտելի երկրաչափության հայր: Ի վերջո, այս ցուցանիշի մասին իրազեկությունը կարող է միայն գալ այն ժամանակ, երբ ուսումնասիրեք նկարները եւ խորհեք այս տարօրինակ թեքումների իմաստը, որոնք ձեւավորում են օրինակին: Fractal- ի նախշերը չունեն նույնական տարրեր, սակայն նրանք ունեն նմանություն ցանկացած մասշտաբով:

Ջուլիա - Մանդելբրոտ

Այս ցուցանիշի առաջին գծերից մեկը Գաստոնի Ջուլիայի ստեղծագործությունների շնորհիվ ծնված եւ փոփոխվել է Մանդելբրոտի գրաֆիկական մեկնաբանությամբ: Gaston- ը փորձեց պատկերացնել, թե ինչպես է հավաքվածը նմանվում, որը հիմնված է պարզ բանաձեւի հիման վրա, որը կորցրել է հետադարձ հանգույցը: Փորձենք բացատրել, թե ինչ է ասվել մարդու լեզվով, այնպես որ խոսեք, մատների վրա: Որոշ թվային արժեքի համար մենք օգտագործում ենք բանաձեւը, նոր արժեք գտնել: Մենք այն փոխարինում ենք բանաձեւով եւ գտնում ենք հետեւյալը. Արդյունքը մեծ թվային հաջորդականությունն է: Այսպիսի հավաքածու ներկայացնելու համար անհրաժեշտ է կատարել այս գործողությունը մի քանի անգամ `հարյուրավոր, հազարավոր, միլիոնավոր: Սա հենց Բենուանն է: Նա վերանայել է հաջորդականությունը եւ արդյունքները փոխանցել է գրաֆիկական ձեւ: Հետագայում նա նկարել է արդյունքի չափը (յուրաքանչյուր գույնը համապատասխանում է որոշակի քանակի կրկնողությունների): Այս գրաֆիկական պատկերն անվանվել է «Mandelbrot Fractal»:

L. Carpenter: արվեստը ստեղծվել է բնության կողմից

Ֆրակտալների տեսությունը արագորեն գործնական կիրառություն է գտել: Քանի որ շատ սերտորեն կապված է ինքնատիպ պատկերների արտացոլման հետ, առաջինը պետք է ընդունի սկզբունքներն ու ալգորիթմները, այս անսովոր ձեւերը կառուցելու համար, արվեստագետներն են: Դրանցից առաջինը «Pixar» ստուդիայի ապագա հիմնադիրն էր Lauren Carpenter- ը: Օդանավերի նախատիպերի ներկայացման վրա աշխատելը, այնուամենայնիվ, տեղի է ունեցել, որպես լեռների պատկեր, որպես ֆոն: Այսօր գրեթե յուրաքանչյուր համակարգչի օգտագործողը կարող է լուծել այս խնդիրը, եւ անցյալ դարի 70-ական թվականներին համակարգիչները չեն կարողանում նման գործընթացներ իրականացնել, քանի որ այդ ժամանակ 3D գրաֆիկայի համար գրաֆիկական խմբագիրներ եւ ծրագրեր չկար: Եվ Լորենը բռնեց Mandelbrot- ի «Fractals: ձեւը, վթարը եւ չափը» գիրքը: Բենուան շատ օրինակներ տվեց, ցույց տալով, որ բնության մեջ գոյություն ունեն ֆրագալներ (ֆյվա), նա նկարագրել է նրանց բազմազան ձեւը եւ պնդել, որ դրանք հեշտությամբ նկարագրվում են մաթեմատիկական արտահայտություններով: Մաթեմատիկոսը այս անալոգիան ներկայացրեց որպես փաստարկ, իր տեսության օգտակարության համար, որը նա մշակել էր իր գործընկերների քննադատության բուռն արձագանքին: Նրանք պնդում էին, որ ֆրակտալը դա պարզապես գեղեցիկ պատկեր է, որը չունի արժեք, որը էլեկտրոնային մեքենաների աշխատանքի արդյունք է: Գյուղացին որոշեց փորձել այս մեթոդը գործնականում: Գիրքը ուշադիր ուսումնասիրելուց հետո ապագա մուլտիպլիկատորը սկսեց փնտրել համակարգչային գրաֆիկայի ֆրակտալ երկրաչափություն իրականացնելու ճանապարհ: Այն տեւեց ընդամենը երեք օր `իր համակարգչում լանդշաֆտի շատ իրատեսական կերպար տեսնելու համար: Եվ այսօր այդ սկզբունքը լայնորեն օգտագործվում է: Ինչպես պարզվեց, ֆրագալների ստեղծումը շատ ժամանակ եւ ջանք չի պահանջում:

Կարպիսների լուծումը

Լորենի օգտագործած սկզբունքը պարզ էր: Այն բաղկացած է ավելի մեծ երկրաչափական գործիչները փոքր տարրերի բաժանմամբ, եւ դրանք նույն չափի փոքր նմուշներում եւ այլն: Գորգագործը, օգտագործելով խոշոր եռանկյունները, դրանք մանրացրեց 4 փոքրիկ եւ այլն, մինչեւ որ իրատեսական լեռնային լանդշաֆտը ստացավ: Այսպիսով, նա դարձավ առաջին նկարիչը, ով կիրառեց ֆրակտալ ալգորիթմը համակարգչային գրաֆիկայի մեջ `անհրաժեշտ պատկեր ստեղծելու համար: Այսօր այս սկզբունքը օգտագործվում է տարբեր իրատեսական բնական ձեւեր ձեւակերպելու համար:

Ֆրակտալ ալգորիթմի վրա առաջին 3D տեսլականը

Մի քանի տարի անց, Լորենը իր աշխատանքն օգտագործեց լայնածավալ նախագծում `1980-ին Սիգոգրաֆում ցուցադրված« Վոլ Լիջր »անիմացիոն ֆիլմը: Այս տեսահոլովակը ցնցեց շատերին, եւ նրա ստեղծողը հրավիրված էր աշխատել Lucasfilm- ում: Այստեղ անիմատորը կարողացավ հասկանալ առավելագույն մակարդակով, ստեղծեց եռաչափ լանդշաֆտներ (ամբողջ մոլորակը), «Star Trek» լիամետրաժ ֆիլմի համար: Ցանկացած ժամանակակից ծրագիր («Fractals») կամ եռաչափ գրաֆիկայի ստեղծման դիմում (Terragen, Vue, Bryce) օգտագործում են նույն ալգորիթմը մոդելավորող հյուսվածքների եւ մակերեսների համար:

Թոմ Բեդդարդը

Անցյալում լազերային ֆիզիկոս, այժմ թվային վարպետ եւ նկարիչ, Բեդդարդը ստեղծել է շատ հետաքրքիր անձնավորություն երկրաչափական թվեր, որոնք նա կոչում է Ֆաբերժ ֆրակտալներ: Արտերկրում, նրանք նման են ռուս ոսկերիչի դեկորատիվ ձվերին, նույն փայլուն բարդ ձեւով: Beddard- ը օգտագործել է իր մոդելների սեփական թվային վիզուալիզմներ ստեղծելու համար ձեւանմուշային մեթոդը: Ստացված ապրանքները զարմացնում են գեղեցկության հետ: Չնայած շատերը հրաժարվում են համեմատել արտադրանքի ձեռքի գործը համակարգչային ծրագրով, պետք է հասկանալ, որ ստացված ձեւերը անսովոր գեղեցիկ են: Ուշագրավն այն է, որ ցանկացած մարդ կարող է կառուցել նման ֆրակտալ, օգտագործելով WebGL ծրագրային գրադարանը: Այն թույլ է տալիս իրական ժամանակում ուսումնասիրել տարբեր ֆրակտալ կառույցներ:

Fractals բնույթով

Քչերն են ուշադրություն դարձնում, բայց այս զարմանալի թվերը ամենուր են: Բնությունը ստեղծվում է ինքնահավան թվերից, մենք պարզապես չենք նկատում: Բավական է նայել մեր մաշկի կամ ծառի տերեւի խոշորացույցի միջոցով, եւ կտեսնենք ֆկագալները: Կամ վերցրեք, օրինակ, մի արքայախնձոր կամ նույնիսկ տոնածառի պոչ - բաղկացած է նմանատիպ թվերից: Բրոկկոլի բրոկկոլի Ռոմանեսկուի բազմազանությունը, ընդհանուր առմամբ, զարմացնում է իր տեսքը, քանի որ այն իսկապես կարելի է անվանել բնության հրաշք:

Երաժշտական դադար

Ստացվում է, որ ֆրագալները ոչ միայն երկրաչափական գործիչներ են, դրանք հնչում են: Այսպիսով, երաժիշտ Ջոնաթան Կոլոնը գրում է ֆրակտալ ալգորիթմներ օգտագործող երաժշտություն: Նա պնդում է, որ նման մեղեդին համապատասխանում է բնական ներդաշնակությանը: Կոմպոզիտորը հրապարակում է իր բոլոր ստեղծագործությունները CreativeCommons Attribution-Noncommercial լիցենզիայի տակ, որը նախատեսում է այլ անձանց կողմից անվճար բաշխում, պատճենահանում, փոխանցում:

Ցուցանիշ-ֆրակտալ

Այս տեխնիկան շատ անսպասելի հայտ է գտել: Հիմնադրվել է ֆոնդային շուկայի շուկայի վերլուծության գործիք, որի արդյունքում այն օգտագործվել է Forex շուկայում: Այժմ ցուցիչ-ֆրակտալը բոլոր առեւտրային հարթակներում է եւ օգտագործվում է առեւտրային սարքավորումների մեջ, որը կոչվում է գների ընդմիջում: Մշակված այս տեխնիկան Bill Williams- ը: Ինչպես հեղինակը մեկնաբանեց իր գյուտի մեջ, այս ալգորիթմը մի քանի «մոմերի» համադրություն է, որտեղ կենտրոնը արտացոլում է առավելագույնը կամ, ընդհակառակը, նվազագույն ծայրահեղ կետը:

Վերջում

Այնպես որ, մենք նայեցինք, թե ինչ ֆրագալ է: Ստացվում է, որ մեզ շրջապատող քաոսի մեջ, ըստ էության, կան իդեալական ձեւեր: Բնությունը լավագույն ճարտարապետն է, իդեալական շինարար եւ ինժեներ: Այն շատ տրամաբանորեն կազմակերպված է, եւ եթե մենք չենք կարող գտնել օրենքը, դա չի նշանակում, որ գոյություն չունի: Գուցե դուք պետք է այն փնտրել այլ մասշտաբով: Կարող ենք վստահաբար ասել, որ ֆրագալները ավելի շատ գաղտնիքներ են պահում, որոնք մենք դեռ չգիտենք: