Համակարգ գծային հանրահաշվական հավասարումների. Միատարր համակարգը գծային հանրահաշվական հավասարումների

Դպրոցում, մեզանից յուրաքանչյուրը ուսումնասիրում է հավասարումը եւ, իհարկե, այն հավասարումների համակարգի: Բայց ոչ շատ մարդիկ գիտեն, որ կան մի քանի եղանակներ լուծել դրանք: Այսօր մենք տեսնում ենք, հենց բոլոր մեթոդները լուծելու համար համակարգի գծային հանրահաշվական հավասարումների, որոնք կազմված են ավելի քան երկու հավասարումների.

պատմություն

Այսօր մենք գիտենք, որ արվեստը լուծման հավասարումների եւ իրենց համակարգերը ծագել է հին Բաբելոնում եւ Եգիպտոսում: Սակայն, հավասարություն իրենց ծանոթ տեսքով հայտնվել է մեզ առաջանալուց հետո հավասար նշան «=», որը ներկայացվել է 1556-ի անգլերեն մաթեմատիկոս հաշվետվությունում. Ի դեպ, այս խորհրդանիշը ընտրվել է մի պատճառով. Դա նշանակում է երկու զուգահեռ հավասար հատվածներին: Իրոք, լավագույն օրինակը հավասարության չի գալ:

Հիմնադիրն է ժամանակակից դրոշմում եւ խորհրդանիշերը անհայտ չափով, ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ֆրանսուա Վիետնամ. Սակայն, նրա նշման զգալիորեն տարբերվում է այսօր. Օրինակ, մի քառակուսի անհայտ թվով նա նշանակված է նամակում Q (lat «Quadratus».), Իսկ Cube - ասված է նամակում C (lat «Cubus»): Այդ նշանագրերը այժմ կարծես անհարմար, բայց հետո դա եղել է առավել ինտուիտիվ ձեւով գրել համակարգի գծային հանրահաշվական հավասարումների.

Սակայն, մի թերություն է գերիշխող մեթոդների լուծման այն էր, որ մաթեմատիկոսներ են համարել միայն այն դրական արմատները: Թերեւս դա պայմանավորված է նրանով, որ բացասական արժեքները չեն ունենա որեւէ գործնական կիրառումը: Այսպես, թե այնպես, բայց առաջին հերթին պետք է համարել բացասական արմատները սկսվեց այն բանից հետո, իտալական մաթեմատիկայի Նիկոլո Tartaglia, Gerolamo Cardano եւ Ռաֆայել Bombelli 16-րդ դարում: Ժամանակակից տեսքը, հիմնական մեթոդը լուծման quadratic հավասարումների (միջոցով discriminant) հիմնադրվել է միայն 17-րդ դարի աշխատանքներին Descartes եւ Newton.

Ի կեսին 18-րդ դարի Շվեյցարիայի մաթեմատիկոս Գաբրիել Կրամերը գտել է մի նոր ճանապարհ, որպեսզի լուծումը համակարգերի գծային հավասարումների ավելի հեշտ է. Այս մեթոդը հետագայում կոչվել է նրա անունով, եւ այս օրը մենք օգտագործել այն. Բայց մեթոդի Kramer զրույցում մի քիչ ավելի ուշ, բայց հիմա մենք կքննարկենք գծային հավասարումների եւ դրանց լուծումներ առանձին համակարգից:

գծային հավասարումների

Գծային հավասարումների - ամենապարզ հավասարում փոփոխականի (ներ). Նրանք պատկանում են հանրահաշվական: Գծային հավասարումների գրված է ընդհանուր ձեւով են `ա ₁ * x + ₁ ա _{2 *} x ₂ + ... եւ _n * x _n = բ. Ներկայացում այս ձեւով մենք պետք է նախապատրաստման համակարգերի եւ matrices վրա:

Համակարգ գծային հանրահաշվական հավասարումների

The սահմանումը Այս ժամկետի: մի շարք հավասարումների, որոնք ունեն ընդհանուր unknowns եւ ընդհանուր լուծում: Որպես կանոն, դպրոցում բոլորը լուծված է մի համակարգ, երկու կամ նույնիսկ երեք հավասարումների. Բայց կան համակարգեր չորս կամ ավելի բաղադրիչների. Եկեք տեսնենք, թե առաջին, թե ինչպես պետք է գրել նրանց ներքեւ այնպես, որ հետագայում դա հարմար է լուծել: Նախ, համակարգը գծային հանրահաշվական հավասարումների կանդրադառնա ավելի լավ, եթե բոլոր փոփոխականները, որոնք գրված են որպես x համապատասխան ցուցանիշից: 1,2,3 եւ այլն: Երկրորդ, այն պետք է հանգեցնի բոլոր հավասարումների է կանոնական ձեւով, ա ₁ * x + ₁ ա _{2 *} x ₂ + ... եւ _n * x _n = բ.

Ի վերջո, այդ քայլերի, մենք կարող ենք սկսել են պատմել ձեզ, թե ինչպես պետք է լուծում գտնի համակարգերի գծային հավասարումների. Շատ է, որ կգա հարմար մատրիցով.

մատրիցա

Matrix մի սեղան, որը բաղկացած է շարքերում ու սյուները, եւ դրա տարրերը գտնվում են իրենց խաչմերուկում. Սա կարող է լինել կամ կոնկրետ արժեք կամ փոփոխական. Շատ դեպքերում, որպեսզի նշանակի տարրեր, որոնք կազմակերպվում տակը subscripts (օրինակ, ₁₁ կամ ₂₃ լավ). Առաջին ցուցանիշը ցույց է տալիս տողի համարը, եւ երկրորդը `սյունակը: Above մատրիցներ, ինչպես վերեւում եւ ցանկացած այլ մաթեմատիկական տարր կարող է կատարել տարբեր գործողություններ: Այսպիսով, դուք կարող եք:

1) Պակասեցնել եւ ավելացնել նույն չափը սեղանի շուրջ:

2) Բազմապատկել մատրիցի ցանկացած թվի կամ վեկտորի.

3) տեղափոխել: վերափոխել մատրիցով գծերի սյունակներում, իսկ սյուները տողով.

4) Բազմապատկել մատրիցը, եթե թիվը շարքերում հավասար է նրանցից մեկի մի շարք այլ սյուների.

Հանգամանորեն քննարկելու բոլոր այդ տեխնիկայի, քանի որ նրանք կարող են օգտակար լինել մեզ ապագայում: Հանում եւ ժամանակը matrices շատ պարզ է. Քանի որ մենք վերցնենք նույն չափը մատրիցան, յուրաքանչյուր տարր մեկ սեղանի շուրջ կապված է յուրաքանչյուր այլ տարր. Այսպիսով, մենք ավելացնել (պակասեցնել) այդ երկու տարրերի (դա կարեւոր է, որ նրանք կանգնած են նույն հիմքով իրենց matrices): Երբ բազմապատկած թվով մատրիցով կամ վեկտորի դուք պարզապես բազմապատկել յուրաքանչյուր տարր է մատրիցով է այդ համարը (կամ վեկտորի): Փոխելը մի շատ հետաքրքիր գործընթաց է: Շատ հետաքրքիր երբեմն նրան տեսնել իրական կյանքում, օրինակ, երբ փոխվում է կողմնորոշումը մի դեղահատ կամ հեռախոսով: Պատկերակները աշխատասեղանի է մատրիցա, եւ մի դիրքորոշման փոփոխություն, այն transposed եւ դառնում ավելի լայն, բայց նվազում է բարձրությունից.

Եկեք քննենք եւս գործընթաց, ինչպիսիք են մատրիցային բազմապատկում: Թեեւ նա պատմեց մեզ, եւ ոչ թե օգտակար է, սակայն պետք է գիտակցել, որ դա դեռ օգտակար. Բազմապատկել երկու մատրիցներ կարող է լինել միայն այն պայմանով, որ մի շարք սյունակներում մեկ սեղանի հավասար է շարք շարքերում այլ. Հիմա էլ մեկ մատրից տող տարրեր եւ այլ տարրեր համապատասխան սյունակում: Բազմապատկել դրանք միմյանց եւ ապա գումարի (այսինքն, օրինակ, արդյունք է տարրերի ₁₁ եւ _12, եւ ին <sub>`ժամը 12</sub> բ եւ <sub>22</sub> բ կլինի հավասար են` ա * b _{11 12} + ₁₂ * բ եւ _22): Այսպիսով, մի սեղան նյութը, եւ մեթոդը նման է այն, լցված հետագայում:

Այժմ մենք կարող ենք սկսել մտածել, թե ինչպես պետք է լուծել գծային հավասարումների համակարգերը:

Gauss

Այս թեման սկսեց տեղի կունենա դպրոցում: Մենք շատ լավ գիտենք, հայեցակարգը »համակարգի երկու գծային հավասարումների» եւ իմանալ, թե ինչպես պետք է դրանք լուծել: Բայց ինչ, եթե թիվն հավասարումների ավելի մեծ է, քան երկու. Սա կօգնի մեզ Gauss մեթոդը:

Իհարկե, այս մեթոդը հարմար է օգտագործել, եթե դուք կատարել է մատրիցան համակարգի: Բայց դուք չեք կարող փոխարկել այն եւ որոշում է իր սեփական.

Այնպես որ, թե ինչպես պետք է լուծել այն է համակարգի գծային հավասարումների Gauss. Ի դեպ, թեեւ այս մեթոդով նրա անունով, սակայն հայտնաբերել է այն հնագույն ժամանակներից: Gauss ունի գործողություն, որն իրականացվել է հետեւյալ հավասարումներով, ի վերջո, հանգեցնում է ամբողջության մինչեւ շարան կազմել ձեւով. Այսինքն, դուք պետք է վերեւ-ներքեւ (եթե ճիշտ տեղադրել) ից առաջին վերջին հավասարման waned մեկը անհայտ: Այլ կերպ ասած, մենք պետք է համոզվեք, որ մենք ստացել, ասում, երեք հավասարումների: Առաջին - երեք unknowns, երկրորդ `երկու երրորդը, - մեկը: Այնուհետեւ, վերջին հավասարման, մենք գտնում ենք, որ առաջին անհայտ փոխարինել է իր արժեքը երկրորդ կամ առաջին հավասարման, եւ հետագայում գտնել այն մնացած երկու փոփոխականների.

Cramer իշխանության

Զարգացման համար այս մեթոդը կենսական նշանակություն ունի տիրապետել հմտությունները Բացի այդ, հանում մատրիցների, ինչպես նաեւ պետք է կարողանան գտնել որոշիչ: Հետեւաբար, եթե դուք անհարմար անում այս ամենը, թե չգիտեմ, թե ինչպես է, որ անհրաժեշտ է իմանալ, եւ պետք է վերապատրաստվեն:

Թե ինչ է իրենից ներկայացնում այդ մեթոդի, եւ թե ինչպես պետք է անել այնպես, որպեսզի ստանալ համակարգի գծային հավասարումների Cramer. Դա շատ պարզ է. Մենք պետք է կառուցել մի մատրիցան թվերի (գրեթե միշտ) գործակիցների համակարգի գծային հանրահաշվական հավասարումների. Որպեսզի դա անել, պարզապես վերցնել շարք է անհայտ, եւ մենք կազմակերպել սեղան, որպեսզի նրանք կարող են արձանագրված համակարգում: Եթե մինչեւ այդ թիվը մի նշան », -«, ապա մենք գրել բացասական գործակից: Այնպես որ, մենք առաջին մատրիցան գործակիցների անհայտ, ոչ այդ թվում նաեւ մի շարք հետո հավասար նշանների (իհարկե, որ այդ հավասարումը պետք է կրճատվել է կանոնական ձեւով, երբ ճիշտ է պարզապես մի շարք, եւ ձախ - բոլոր անհայտ հետ գործակիցների): Ապա դուք պետք է կատարել մի քանի մատրիցաների - մեկ, յուրաքանչյուր փոփոխականի. Այդ նպատակի համար, առաջին մատրիցով փոխարինվում է մեկ շարասյուներով յուրաքանչյուր սյունակում համարների հետ գործակիցներով հետո հավասար նշան: Այսպիսով, մենք ստանում ենք մի քանի մատրիցաների եւ ապա գտնել իրենց որոշիչ:

Դրանից հետո մենք գտանք որակավորման, դա փոքր. Մենք ունենք նախնական matrix, եւ կան մի քանի ստացված մատրիցներ, որոնք համապատասխանում են տարբեր փոփոխականների. Է ստանալ համակարգի լուծում, մենք բաժանենք որոշիչը արդյունքում ստացվող սեղանի վրա առաջնային որոշիչ սեղանին. Արդյունքում համարը արժեքը մեկ փոփոխականի: Նմանապես, մենք գտնում ենք բոլոր unknowns.

այլ մեթոդներ

Կան մի քանի մեթոդներ, որպեսզի ստանալ լուծումը համակարգերի գծային հավասարումների. Օրինակ, այսպես կոչված Գաուս-Ջորդանի մեթոդը, որն օգտագործվում է գտնելու լուծումներ համակարգի quadratic հավասարումների, ինչպես նաեւ վերաբերում է օգտագործման matrices. Կա նաեւ մի Jacobi մեթոդ լուծել համակարգի գծային հանրահաշվական հավասարումների. Նա հեշտությամբ հարմարվում է բոլոր համակարգիչների եւ օգտագործվում է հաշվողական:

բարդ դեպքեր

Բարդությունն սովորաբար տեղի է ունենում, եթե թիվն հավասարումների պակաս քանակով փոփոխականների. Ապա մենք կարող ենք վստահաբար ասել, որ, կամ համակարգը անհամապատասխան է (այսինքն, չունի արմատներ), կամ մի շարք իր որոշումների հակված է անվերջություն: Եթե մենք ունենք երկրորդ գործը, դա անհրաժեշտ է գրել ընդհանուր լուծումը համակարգի գծային հավասարումների. Այն կներառի առնվազն մեկ փոփոխական:

եզրափակում

Այստեղ մենք գալիս ենք մինչեւ վերջ: Է ամփոփել: Մենք պետք է հասկանանք, թե ինչ համակարգ մատրիցան, սովորել է գտնել ընդհանուր լուծում է համակարգի գծային հավասարումների. Բացի այդ, մենք համարվում այլ տարբերակներ: Մենք նախշավոր, թե ինչպես պետք է լուծել գծային հավասարումների համակարգերը `Գաուսի վերացման եւ CRAMER օրոք: Մենք խոսեցինք բարդ դեպքերի եւ այլ ձեւերով լուծումներ գտնելու:

Ի դեպ, այս հարցը շատ ավելի լայն է, եւ եթե դուք ուզում եք ավելի լավ հասկանալ այն, մենք խորհուրդ ենք տալիս կարդալ ավելին է մասնագիտական գրականության: