Գծային եւ միատարր դիֆերենցիալ հավասարումը առաջին կարգի. օրինակները լուծումների

Ես կարծում եմ, որ մենք պետք է սկսել է պատմության մեջ փառավոր մաթեմատիկական գործիք, որպես դիֆերենցիալ հավասարումների. Նման բոլոր դիֆերենցիալ եւ ինտեգրալ քար, այդ հավասարումների են հորինել էր Նյուտոնը հանգուցյալ 17-րդ դարում: Նա հավատում էր, որ դա եղել է նրա հայտնաբերումը, այնքան կարեւոր է, որ նույնիսկ կոդավորված հաղորդագրություն, որն այսօր կարող է թարգմանվել որպես հետեւյալ կերպ. «Բոլոր օրենքները բնության նկարագրված դիֆերենցիալ հավասարումների»: Այն կարող է թվալ չափազանցություն, բայց դա ճիշտ է: Ցանկացած օրենք ֆիզիկայի, քիմիայի, կենսաբանության, կարելի է բնութագրել այդ հավասարումների.

Հսկայական ներդրումը եւ ստեղծման տեսության դիֆերենցիալ հավասարումների ունեն մաթեմատիկայի Euler եւ Lagrange. Արդեն 18-րդ դարում նրանք հայտնաբերեցին, եւ զարգացած այն, ինչ այժմ սովորում է ավագ համալսարանական դասընթացների:

Նոր փուլ է ուսումնասիրության դիֆերենցիալ հավասարումների սկսեց շնորհակալություն է Անրի Puankare: Նա ստեղծել է «որակական դիֆերենցիալ հավասարումների», որը զուգորդվում է տեսության կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաների մեծապես նպաստեց հիմնադրման topology - գիտության տարածության եւ նրա հատկությունների.

Որոնք են դիֆերենցիալ հավասարումների.

Շատերը վախենում են, որ արտահայտության «դիֆերենցիալ հավասարման»: Սակայն, այս հոդվածում մենք ձեռնամուխ կլինի դուրս մանրամասնորեն էությունը այս շատ օգտակար մաթեմատիկական գործիք, որը, ըստ էության, ոչ թե որպես բարդ, քանի որ այն թվում է վերնագրում. Որպեսզի սկսում է խոսել այն մասին, առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումը, դուք պետք է առաջին հերթին ծանոթանալ հիմնական հասկացությունները, որոնք ժառանգաբար հետ կապված: Այս սահմանման: Եւ մենք կսկսենք հետ դիֆերենցիալ:

դիֆերենցիալ

Շատերը գիտեն, այս տերմինը, որ ավագ դպրոց: Սակայն, դեռեւս խոսել դրա մանրամասն. Պատկերացրեք, գրաֆիկը գործառույթից: Մենք կարող ենք մեծացնել այն է այնպիսի աստիճանի, որ որեւէ մեկը դրա հատվածի դառնում մի ուղիղ գիծ: Այն պետք է վերցնել երկու միավոր, որոնք անսահմանորեն մոտ են իրար: Միջեւ տարբերությունը իրենց կոորդինատները (x, կամ y) անսահմանորեն: Եւ այն կոչվում է դիֆերենցիալ եւ նիշ է նշանակեն dy (դիֆերենցիալ Հյուրատետր y) եւ DX (դիֆերենցիալ է x). Դա կարեւոր է հասկանալ, որ այդ դիֆերենցիալ չէ վերջնական արժեքը, իսկ սա նշանակում, եւ հիմնական գործառույթը:

Եւ այժմ դուք պետք է հաշվի առնել հետեւյալ տարրերը, որը մենք պետք է բացատրել, որ դիֆերենցիալ հավասարումը հայեցակարգը: It - ածանցյալ է.

ածանցյալ

Մեզ բոլորիս պետք է լսել դպրոցում եւ այս հասկացության: Նրանք ասում են, որ ածանցյալ, այն է, աճի տեմպը կամ նվազման գործառույթը: Սակայն, այս սահմանումը դառնում է ավելի շփոթեցնող. Փորձենք բացատրել, ածանցյալ ժամկետները տարբերությունները. Եկեք գնանք դեպի անվերջ ընդմիջումից գործառույթը երկու միավոր, որոնք տեղակայված է նվազագույն հեռավորության վրա իրար. Բայց նույնիսկ այս հեռակա գործառույթը փոխելու ժամանակն է, որպեսզի ինչ-որ արժեքի. Եւ նկարագրել այդ փոփոխությունը եւ գալ մի ածանցյալ է, որ հակառակ դեպքում պետք է գրավոր, քանի որ հարաբերակցությունը տարբերությունները F (x) '= df / dx:

Այժմ անհրաժեշտ է հաշվի առնել հիմնական հատկությունների ածանցյալ: Կան միայն երեքն

1. Ածանցյալ գործիք գումարը կամ տարբերությունը կարող է ներկայացվել որպես գումարի կամ տարբերության մասին ածանցյալների `(ա + բ)« = մի '+ b », եւ (AB)' = a'-b»:
2. Երկրորդը գույքը հետ է կապված բազմապատկում: Ածանցյալ ստեղծագործությունները - գումարը աշխատանքներին ֆունկցիայի մեկ այլ ածանցյալ (ա * բ) «= a * բ + A * b»:
3. Ածանցյալ տարբերության կարելի է գրել նաեւ հետեւյալ հավասարման. (Ա / b) '= (ա * բա * բ') / բ ^2:

Բոլոր այդ հատկանիշները գալիս են հարմար լուծումներ գտնելու համար դիֆերենցիալ հավասարումների են առաջին կարգի.

Բացի այդ, կան մասնակի ածանցյալներ: Ենթադրենք, որ մենք ունենք մի գործառույթ է z, որը կախված է x եւ y փոփոխականները: Է հաշվարկել մասնակի ածանցյալ այս գործառույթը, օրինակ, x, մենք պետք է վերցնել փոփոխական y համար հաստատուն եւ հեշտ է տարբերել:

անբաժանելի

Մեկ այլ կարեւոր հասկացություն - անբաժանելի. Ըստ էության, դա հակառակ է ածանցյալ: Ինտեգրալներից են մի քանի տեսակներ, բայց ամենապարզ լուծումները դիֆերենցիալ հավասարումների, մենք պետք է շատ չնչին անորոշ integrals:

Այնպես որ, թե ինչ է անբաժանելի: Եկեք ասում են, որ մենք ունենք որոշակի հարբերություններ զ Հյուրատետր x: Մենք վերցնում է այն բաղկացուցիչ եւ ձեռք բերել ֆունկցիայի f (x) (որ հաճախ կոչվում է որպես պարզունակ), որը հանդիսանում է ածանցյալ է բուն գործառույթից: Հետեւաբար F (x) '= f (x): Սա նաեւ նշանակում է, որ անբաժան է ածանցյալ հավասար է բուն գործառույթից:

Է լուծել դիֆերենցիալ հավասարումների, դա շատ կարեւոր է հասկանալ իմաստը եւ գործառույթը անբաժանելի, քանի որ շատ հաճախ պետք է վերցնել նրանց լուծումներ գտնել:

Այն հավասարումների տարբեր են `կախված իրենց բնույթով. Իսկ հաջորդ բաժնում մենք նայում տեսակի առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների, ապա սովորել, թե ինչպես պետք է դրանք լուծել:

Դասեր դիֆերենցիալ հավասարումների

«Diffury» բաժանվում կարգով ածանցյալների մեջ ներգրավված նրանց. Այսպիսով, առկա է առաջին, երկրորդ, երրորդ կամ ավելի պատվեր. Նրանք կարող են նաեւ բաժանել մի քանի խմբերի, սովորական եւ մասնակի:

Այս հոդվածում կքննենք սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների են առաջին կարգի. Օրինակներ եւ լուծումներ ենք քննարկելու հետեւյալ բաժիններից. Մենք համարում միայն Tac, քանի որ դա ամենատարածված տեսակները հավասարումների. Սովորական բաժանել subspecies: կապնվել բաժանելի փոփոխականների, համասեռ եւ տարասեռ. Հաջորդ, դուք կսովորեք, թե ինչպես են նրանք տարբերվում են միմյանցից, եւ իմանալ, թե ինչպես պետք է դրանք լուծել:

Ի լրումն, այդ հավասարումների կարող է համատեղել, այնպես, որ հետո մենք ստանում ենք մի համակարգ դիֆերենցիալ հավասարումների, առաջին կարգի. Նման համակարգերը, մենք նաեւ նայում եւ իմանալ, թե ինչպես պետք է լուծել.

Թե ինչու մենք քննարկում ենք միայն առաջին կարգի. Քանի որ դա անհրաժեշտ է սկսել մի պարզ եւ նկարագրել այն ամենը կապված է դիֆերենցիալ հավասարումների, մեկ հոդվածում, դա անհնար է:

Հավասարումների հետ բաժանելի փոփոխականների

Սա, թերեւս, առավել պարզ առաջին կարգը դիֆերենցիալ հավասարումների. Սրանք օրինակներ են, որոնք կարելի է գրել նաեւ: y '= f (x) * զ (y). Որպեսզի լուծել այս հավասարումը մենք պետք է ներկայացուցչական բանաձեւը ածանցյալ որպես հարաբերակցությունը տարբերությունները. Y '= dy / dx: Դրա հետ մենք ձեռք ենք բերում հավասարումը: dy / dx = f (x) * զ (y). Այժմ մենք կարող ենք դիմել մեթոդով լուծելու ստանդարտ օրինակներ: առանձնացնել փոփոխականներ մասերում, այսինքն արագ առաջ բոլոր փոփոխական y այն մասում, որտեղ կա dy, ինչպես նաեւ կատարել է փոփոխական x ... Մենք ձեռք բերելու հավասարումը ձեւով: dy / զ (y) = f (x) dx, որը ձեռք է բերվել առնելով integrals է երկու մասից: Մի մոռացեք մասին անընդհատ, որ դուք ցանկանում եք տեղադրել ինտեգրումից հետո:

Լուծումը, ցանկացած «diffura" - ը գործառույթը x կողմից y (մեր դեպքում), կամ, եթե կա թվային պայման, որ պատասխանն է մի շարք. Եկեք քննենք կոնկրետ օրինակ է ամբողջ ընթացքը որոշման:

y '= 2y * sin (x)

Փոխանցել է փոփոխականների տարբեր ուղղություններով:

dy / y = 2 * sin (x) dx

Այժմ վերցնել integrals: Բոլորն էլ կարելի է հատուկ սեղանին ինտեգրալների: Եւ մենք ստանում ենք:

Ln (y) = -2 *, cos (x) + C

Եթե անհրաժեշտ լինի, մենք կարող ենք արտահայտել է "y" որպես ֆունկցիա «X»: Այժմ մենք կարող ենք ասել, որ մեր դիֆերենցիալ հավասարման լուծվում, եթե ոչ նշված վիճակը: Կարելի է ձեւավորել վիճակը, օրինակ, y (n / 2) = e. Ապա մենք պարզապես փոխարինել արժեքը այդ փոփոխականների որոշման եւ գտնել արժեքը հաստատունը: Մեր օրինակում, այն կազմում է 1:

Միատարր առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների

Այժմ դեպի ավելի բարդ մասերի: Միատարր առաջին կարգը դիֆերենցիալ հավասարումների կարող է գրված լինի ընդհանուր ձեւով, որպես: y '= z (x, y). Հարկ է նշել, որ ճիշտ ֆունկցիա երկու փոփոխականների միատեսակ, եւ դա չի կարող բաժանել երկու, կախված: z x եւ z մասին y. Ստուգեք, թե արդյոք հավասարումը միատարր, թե ոչ, այն է, բավականին պարզ է: Մենք կատարել փոխարինող x = K * x եւ y = k * y. Այժմ մենք կտրել բոլոր k. Եթե այդ տառերը նվազել, ապա հավասարումը միատարր եւ կարող եք ապահով կերպով անցնել դրա լուծման. Առաջ նայելով, մենք ասում ենք, որ սկզբունքը լուծման այդ օրինակներից է նաեւ շատ պարզ է.

Մենք պետք է դարձնել փոխարինելու: y = T (x) * x, որտեղ t - մի գործառույթ, որը կախված է նաեւ x: Ապա մենք կարող ենք արտահայտել է ածանցյալ y '= t' (x) * x + ք. Փոխարինող այս ամենը հաշվի մեր բուն հավասարման եւ պարզեցնելով այն, որ մենք ունենք, օրինակ, որ բաժանման փոփոխականները t որպես x: Լուծել այն եւ ստանալ կախվածությունը t (x): Երբ մենք ստացանք այն, պարզապես փոխարինել մեր նախորդ փոխարինող y = T (x) * x: Ապա մենք ձեռք ենք բերում կախվածությունը y վրա x:

Այն դարձնել ավելի հստակ, մենք պետք է հասկանալ, թե մի օրինակ: x * y '= YX * e y / X:

Երբ ստուգում փոխարինման բոլոր նվազում: Այնպես որ, հավասարումը, իրոք, միատարր: Այժմ կատարել մեկ այլ փոխարինումը, մենք խոսեցինք: y = T (x) * x եւ y '= T' (x) * x + T (x): Այն բանից հետո, պարզեցման հետեւյալ բանաձեւով. T '(x) * x = -e տ. Մենք որոշում ենք ստանալ մի նմուշ առանձնացված փոփոխականների եւ մենք ^{ստանում ենք: e -t = Ln (C *} x): Մենք պարզապես պետք է փոխարինել t կողմից y / x (քանի որ, եթե y = T * x, ապա t = y / x), եւ մենք ստանում ^{պատասխանը: ե -y / x = Ln (} x * C):

Գծային դիֆերենցիալ հավասարումը առաջին կարգի

Ժամանակն է, որ պետք է հաշվի առնել մեկ այլ լայն թեմա: Մենք պետք է նայենք տարասեռ առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների. Ինչպես են նրանք տարբերվում են նախորդ երկուսից. Եկեք այն. Գծային առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների ընդհանուր ձեւով հավասարման կարելի է գրել, այսպես y »+ g (x) * y = z (x): Այն պետք է պարզաբանվի, որ z (x) եւ g (x) կարող են լինել մշտական արժեքները:

Ահա մի օրինակ: y '- y * x = x ^2:

Գոյություն ունեն երկու ճանապարհ լուծել, եւ մենք պատվիրել Եկեք քննենք երկուսն էլ: Առաջինը մեթոդը տատանումների կամայական հաստատունների.

Է լուծել հավասարումը այս ձեւով, դա անհրաժեշտ է հավասարեցնել առաջին աջ կողմում է զրոյի, եւ լուծել որի արդյունքում հավասարումը, որը հետո փոխանցումը մասերի դառնում:

y '= y * x +

dy / dx = y * x +

dy / y = xdx.

Ln | y | = x ^2/2 + C;

y = ե ^{x2 / 2} * ^C y = C ₁ * ե ^{x2 / 2:}

Այժմ անհրաժեշտ է փոխարինել հաստատուն C _1-ին ֆունկցիայի V (x), որը մենք կգտնենք:

y = v * ե ^{x2 / 2:}

Ոչ ոքի է փոխարինման ածանցյալ:

^{y '= v' * ե x2} / ² -x * v * ե ^{x2 / 2:}

Եւ փոխարինելով այդ արտահայտությունները մեջ է բուն հավասարման:

v «* ե ^{x2 / 2} - x * v * ե ^{x2 / 2} + x * v * ե ^{x2 / 2} = x ^2:

Դուք կարող եք տեսնել, որ ձախ կողմում երկու առումով նվազել են: Եթե ոմանք օրինակը, որ դա տեղի չունեցավ, ապա դուք պետք է մի բան արել սխալ: Մենք շարունակում ենք:

v «* ե ^{x2 / 2} = x ^2:

Այժմ մենք լուծել սովորական հավասարումը, որը դուք ցանկանում առանձնացնել փոփոխականները:

dv / dx = x ^{2 /} ե ^x2 / ^2;

dv = x ² * e ^{- x2 / 2} DX:

Հեռացնել անբաժանելի, մենք պետք է կիրառել այն ինտեգրումը մասերի Մականուն: Սակայն, սա ոչ թե թեման սույն հոդվածի. Եթե դուք հետաքրքրված եք, դուք կարող եք իմանալ, թե իրենց սեփական իրականացնել այնպիսի գործողություններ: Դժվար չէ, եւ բավարար հմտություն եւ խնամքի ոչ ժամանակատար.

Հղում անելով երկրորդ մեթոդի լուծումը այսպիսի անհամասեռ հավասարումների: Bernoulli մեթոդը: Ինչ մոտեցում է ավելի արագ եւ ավելի հեշտ է, դա մինչեւ ձեզ.

Այնպես որ, երբ լուծելու այս մեթոդը, մենք պետք է դարձնել փոխարինելու: y = k * n. Այստեղ, k եւ n - որոշ գործառույթներ, կախված x: Ապա ածանցյալ նման: y '= k * n + k * n'. Փոխարինել երկու փոփոխություն է հավասարման:

ժա »* n + k * n + x * k * n = x ^2:

Խումբ վեր

ժա »* n + k * ( n + x * n) = x ^2:

Այժմ անհրաժեշտ է հավասարեցնել զրոյի, որ գտնվում է առնված: Այժմ, եթե դուք համատեղել երկու առաջացող հավասարումների, մենք ձեռք բերել մի համակարգ առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների պետք է լուծվեն:

n '+ x * n = 0;

K '* n = x ^2:

Առաջին հավասարությունը որոշել, թե ինչպես է սովորական հավասարումը: Որպեսզի դա անել, դուք պետք է առանձնացնել փոփոխականները:

DN / dx = x * v.

DN / n = xdx:

Մենք վերցնում անբաժանելի եւ մենք ձեռք բերել: Ln (n) = x ^2/2. Այնուհետեւ, եթե մենք արտահայտել n:

n = ե ^{x2 / 2:}

Այժմ փոխարինել առաջացող հավասարումը մեջ երկրորդ հավասարման:

K '* ե ^{x2 / 2} = x ^2:

Եւ փոխակերպման, մենք ձեռք ենք բերում նույն հավասարումը, քանի որ առաջին մեթոդի:

dk = x ^{2 /} ե ^x2 / ^2:

Մենք նաեւ չենք քննարկելու հետագա գործողություն. Ասվում է, որ առաջին առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումը առաջացնում է էական դժվարություններ. Սակայն, ավելի խորը ընկղմում թեմայի սկսում է ավելի ու ավելի լավը:

Որտեղ են դիֆերենցիալ հավասարումների.

Շատ ակտիվ դիֆերենցիալ հավասարումներ, որոնք օգտագործվում են ֆիզիկայի, քանի որ գրեթե բոլոր հիմնական օրենքները գրված են դիֆերենցիալ ձեւով, եւ այն բանաձեւերը, որոնք մենք տեսնում ենք, - մի լուծում է այդ հավասարումների. Ի քիմիայի, դրանք օգտագործվում են նույն պատճառով: հիմնական օրենքները, որոնք ստացվում նրանց միջոցով. Կենսաբանության, որ դիֆերենցիալ հավասարումների օգտագործվում են մոդելավորել վարքագիծը համակարգերի, ինչպիսիք են գիշատիչ - կեր: Նրանք կարող են նաեւ օգտագործվել է ստեղծել մոդելներ վերարտադրության, օրինակ, գաղութները միկրոօրգանիզմների.

Քանի որ դիֆերենցիալ հավասարումների օգնել կյանքում.

The պատասխանն այս հարցին շատ պարզ է, ոչինչ. Եթե դուք չեք գիտնական թե ինժեներ, դա քիչ հավանական է, որ նրանք կարող են օգտակար լինել: Սակայն, չի խանգարի իմանալ, թե ինչ է դիֆերենցիալ հավասարումը, եւ այն լուծվել է ընդհանուր զարգացման համար: Եւ ապա հարց է որդու կամ դստեր, «այն, ինչ մի դիֆերենցիալ հավասարման». չեն դնում ձեզ մի փակուղի: Դե, եթե դուք մի գիտնական կամ ինժեներ, ապա դուք գիտեք կարեւորությունը այս հարցում ցանկացած գիտության. Բայց ամենակարեւորը, որ հիմա այն հարցին, թե «ինչպես է լուծել դիֆերենցիալ հավասարումը առաջին կարգի»: դուք միշտ պետք է ի վիճակի է պատասխան տա: Համաձայն եմ, դա միշտ էլ հաճելի է, երբ գիտակցում ես, որ այն, ինչ մարդիկ նույնիսկ վախենում են պարզել:

Հիմնական խնդիրները ուսումնասիրության

Հիմնական խնդիրը հասկանալու Այս թեման մի վատ սովորություն ինտեգրացիոն եւ տարբերակման գործառույթների. Եթե դուք անհարմար ԳՆԱԼՈՎ ածանցյալների եւ integrals, դա, թերեւս, արժե ավելի է սովորել, սովորել, թե տարբեր մեթոդներ ինտեգրման եւ տարբերակման, եւ միայն դրանից հետո անցնել ուսումնասիրության նյութի, որ արդեն նկարագրված է հոդվածում:

Որոշ մարդիկ զարմանում են, իմանալով, որ dx կարող է փոխանցվել, քանի որ նախկինում (դպրոց) պնդում է, որ խմբակցությունը dy / dx անբաժանելի է: Ապա դուք պետք է կարդալ գրականություն ածանցյալ եւ հասկանալ, որ դա վերաբերմունքն անսահման փոքր քանակությամբ, որը կարող է manipulated է լուծել հավասարումների.

Շատ մարդիկ չեն անմիջապես հասկանում են, որ լուծումը դիֆերենցիալ հավասարումների առաջին կարգի - սա հաճախ մի գործառույթ կամ neberuschiysya անբաժանելի, եւ դա մոլորություն է տալիս նրանց շատ դժվարությունների.

Ինչ կարելի է ուսանել է ավելի լավ հասկանալ, թե.

Դա լավ է սկսել հետագա ընկղմում են աշխարհի դիֆերենցիալ քար մասնագիտացված դասագրքերի, օրինակ, մաթեմատիկական վերլուծության աշակերտների համար ոչ մաթեմատիկական մասնագիտությունների. Դուք կարող եք, ապա շարժվել դեպի ավելի մասնագիտական գրականության:

Ասվում է, որ, ի լրումն դիֆերենցիալ, դեռեւս կան ինտեգրալ հավասարումներ, այնպես որ դուք միշտ ինչ - որ բան պետք է ձգտել եւ ինչ պետք է ուսումնասիրի:

եզրափակում

Մենք հուսով ենք, որ կարդալուց հետո այս հոդվածը դուք կունենաք մի գաղափար, թե ինչ է դիֆերենցիալ հավասարումների եւ ինչպես կարելի է լուծել դրանք ճիշտ.

Ամեն դեպքում, մաթեմատիկայի որեւէ կերպ օգտակար է մեզ կյանքում. Այն զարգացնում տրամաբանությունը եւ ուշադրությունը, առանց որի ամեն մարդ, քանի որ առանց ձեռքերի: